Question

se considera matricele respective
de la punctul a stim ca B^2=B+2I3
c) Calculati det (B^n) n nr natural​

Answer 1

Răspuns:

$2^n$

Explicație pas cu pas:

$B=A+A^T=\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$.

$\det(B)=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=2$

//Lăs pentru cititor ca să demonstreze proprietatea următoare:

$N\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\:k\in\mathbb{N}\implies\det(N^k)=\left(\det(N)\right)^k$//

Aplicând proprietatea de sus vom ajunge la rezultatul pretinzător.