Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ şi $M(a)=a A+I_{2}$, unde $a$ este număr real.

$5 \mathbf{1}$. Arătați că det $A=5$.

$5 \mathbf{2}$ 2. Arătați că $A \cdot A-4 A+5 I_{2}=O_{2}$, unde $O_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$.

5p 3. Calculaţi $M(1) \cdot M(-1)$.

5p 4. Arătați că $M(a-1)+M(a+1)=2 M(a)$, pentru orice număr real $a$

5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care $M(a) \cdot M(a)=M(0)$.

5p 6. Demonstrați că $\operatorname{det}(M(a))\ \textgreater \ 0$, pentru orice număr real $a$.

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$

1)

Calculam detA, facem diferenta dintre produsul diagonalelor

detA=4-(-1)=4+1=5

2)

$A\cdot A-4A+5I_2=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8 & -4 \\ 4 & 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right)=\\\\=\left(\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 4 & 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8 & -4 \\ 4 & 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right)=O_2$

3)

$M(1)\cdot M(-1)=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ -4 & -2\end{array}\right)$

4)

$M(a-1)+M(a+1)=(a-1)A+I_2+(a+1)A+I_2=2aA+2I_2=2(aA+I_2)=2M(a)$

5)

$M(a)\cdot M(a)=\left(\begin{array}{cc}2a+1 & -a \\ a & 2a+1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2a+1 & -a \\ a & 2a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3a^2+4a+1 &-4a^2-2a \\ 4a^2+2a & 3a^2+4a+1\end{array}\right)=I_2$

Egalam termenii si obtinem:

-4a²-2a=0

2a(-2a-1)=0

2a=0 si -2a-1=0

a=0

6)

det(M(a))>0, ∀ a∈R

$\left|\begin{array}{cc}2a+1 & -a \\ a & 2a+1\end{array}\right|=(2a+1)^2+a^2$

Fiind suma de puteri pare, numarul este pozitiv

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928526

#BAC2022

#SPJ4