Question

Se consideră matricele $I_{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ și $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a & 2 \\ 1 & a+1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

5p 1. Arătaţi că det $(A(0))=-2$.

$5 \mathbf{2}$ 2. Determinaţi numerele reale $a$, știind că $\operatorname{det}(A(a))=0$.

5p 3. Arătaţi că $(2 a+1) A(a)-A(a) \cdot A(a)=\left(a^{2}+a-2\right) I_{2}$, pentru orice număr real $a$.

5p 4. Demonstrați că $A(5 a-1)+A(5 a+1)=2 A(5 a) [tex], pentru orice număr real [tex] a$.

5p 5. Determinaţi mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care $\operatorname{det}\left(A(a)-I_{2}\right)\ \textless \ 0$.

5p 6. Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul [tex]$n$[tex], numărul natural det [tex]$(A(n))$[tex] este par.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{cc}a & 2 \\ 1 & a+1\end{array}\right)$

1)

Calculam det(A(0)), inlocuim pe a cu 0 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(0))=0-2=-2

2)

det(A(a))=0

a(a+1)-2=0

a²+a-2=0

Δ=1+8=9

$a_1=\frac{-1+3}{2} =1\\\\a_2=\frac{-1-3}{2}=-2$

3)

$A(a)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}a & 2 \\ 1 & a+1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a & 2 \\ 1 & a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a^2+2 & 4a+2 \\ 2a+1 & a^2+2a+3\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{cc}2a^2+a & 4a+2 \\ 2a+1 & 2a^2+3a+1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}a^2+2 & 4a+2 \\ 2a+1 & a^2+2a+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a^2+a-2 & 0 \\ 0 & a^2+a-2\end{array}\right)=(a^2+a-2)I_2$

4)

$A(5a-1)+A(5a+1)=\left(\begin{array}{cc}5a-1 & 2 \\ 1 & 5a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5a+1 & 2 \\ 1 & 5a+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10a & 4 \\ 2 & 2(5a+1)\end{array}\right)=2A(5a)$

5)

det(A(a)-I₂)<0

$\left|\begin{array}{cc}a-1 & 2 \\ 1 & a\end{array}\right|=a(a-1)-2\\\\a(a-1)-2 < 0\\\\a^2-a-2 < 0\\\\\Delta=1+8=9\\\\a_1=\frac{1+3}{2} =2\\\\a_2=\frac{1-3}{2} =-1$

Tabel semn

a            -∞         -1         2            +∞

a²-a-2   + + + + + 0 - - - 0 + + + + +

a∈(-1,2)

6)

$det(A(n))=\left|\begin{array}{cc}n & 2 \\ 1 & n+1\end{array}\right|=n(n+1)-2$

n(n+1) este un numar par, fiind produs de doua numere consecutive

n(n+1)-2 este numar par, fiind diferenta de doua numere pare

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928505

#BAC2022

#SPJ4