Question

. Se consideră mulţimea M2 (Z) și submulțimea G = {A € M2(Z) | det A = 1 sau
det A =-1}
a) Stabiliți dacă (M2(Z), înmulțirea) are structură de grup.
​B) dem ca G parte stabila a lui M2(Z) fata de înmulțirea matricelorr

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) asociativa...inmultirea matricilor e asociativa deci si inm.matricilor din G este asociatibava

b) exista I2 element neutru in M2  cum Det I2=1, I2∈G

c) oricare A∈G, det A∈{-1;1} ≠0 deci inversabila

in plus stiind ca det (AxB)=det A* det B insdeamna ca si

det (AxA^(-1)) = det A* det(a^(-1) =det I2=1

deci   det (A^(-1))= 1/det A∈{1/1; 1/(-1)}={1;-1} deci A^(-1)∈G

inmultirea matricilor din G are propietatile a) b) c) inseamna ca  (G,inmultire) are structura de grup

B) cu care trebuia sa incepem  , e parte stabila (inmultirea in G este lege de compozitie interna) vezxi propietratae c)

Altfel defapt cum era cerinta dar eu am 'fortat" alt drum

arati ca

a) inmultirea e asociativa...f multydecalcul iei 3 matrici

 a b     e  f         i  j

c d       g h       k m

si le inmultesti ca la asociativitate, trebuie sa iti dea la fel  multde scris eu as 'sări"; as zice "se stie ca inmultirea matricilor patrate este asociativa

b0 exisyta I2

a b   inmultit    1 0 ==  a+0     0+b  =    a  b

c d                     0 1       c+0     0+d       c  d

si

 1 0              a b       = .... =             a    b

0 1               c d                              c    d

deci I2 este elem neutru

apoi  arati ca oricareA ∈M2 si det A≠0, exista matricea inversa dupa ce  demonstrezi sau iei de buna relatia det(AxB) =detA* detB

acum cerinta B)

aratica I2 ∈G, pt ca e matrice patrat de ord2 si are detI2= 1∈{-1;1} si arati ca inversa lui A ∈G este tot in G pt ca exista si aredet (a^(-1) ∈{-1'1} ca in prima varianta