Question

Se considera nr natural N=1 x 2 x 3 x 4 x......x 19 x 20
a)Aratati ca N este divizibil cu 3^8
b) determinat cel mai mare nr natural de forma 10^n care divide pe a
Urgent!!!!!

Answer 1

Luam toti multiplii de 3 din produs
3, 6, 9, 12, 15, 18

$3=3 \\ \\ 6=3\cdot2 \\ \\ 9=3^2 \\ \\ 12=3\cdot4 \\ \\ 15=3\cdot5 \\ \\ 18=3^2\cdot2$

Inmultim toate numerele de 3 si puterile de 3 din acele descompuneri
$3\cdot3\cdot3^2\cdot3\cdot3\cdot3^2=3^8$
Din numerele din produsul care da rezultat N, putem scoate destui factori de 3 pentru a obtine un factor de 3^8, care face numarul N sa fie divizibil cu 3^8

Answer 2

a. N=1·2·3·4·.....·19·20
In produsul factorial 1·2·3·4·.....·19·20 putem identifica usor multiplii naturali ai lui 3 si anume 3;6;9;12;15;18 ⇒6 multiplii de 3;
Descompunem multiplii de 3 ,gasiti in produsul factorial de mai sus si obtinem
3=1·3
6=2·3
9=3·3=3²
12=4·3
15=5·3
18=6·3=3²·2
Asadar numarul N=1·2·3·4·.....·19·20 mai poate fi scris astfel
N=3·6·9·12·15·18·1·2·4·......·19·20
N=3·3·3²·3·3·3²·1·1·2·2·2·4·4·5·5·.....·19·20
N=3⁸·1·1·2·2·2·4·4·5·5·.....·19·20
⇒N este divizibil cu 3⁸;
b. Pentru a determina valoarea maxima a numarului de forma 10ᵃ unde a∈N vom afla numarul de zerouri cu care se termina numarul N folosind formula
E(N!)=[N/5]+[N/5²]+.....+[N/5ᵇ] unde b reprezinta cel mai mare exponent al lui 5 astfel incat 5ᵇ<20
Astfel N se termina in [20/5]=4 zerouri.
N=1·2·3·4·......·19·20=10⁴·k unde k∈N ,k≠0.
Numarul N se termina in 4 zerouri asadar este divizibil cu 10⁴ ,de unde obtinem
10ᵃ=10⁴ ⇔a=4;