Question

Se considera numarul A = 3^1+ 3^2 +3^3 +....+ 3^2011
a). Aratati ca A este numar impar.
b). Calculati ultima cifra a numarului A + 1.
c). Calculati restul partirii numarului A + 1 la 5

Answer 1

Toate puterile lui 3 sunt numere impare.
a) A=$3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011}$ are 2011 termeni impari.
Stim:
par+par=impar+impar=par
par+impar=impar

Observam ca daca grupam 2 cate 2 termenii din A, obtinem 1005 perechi de numere impare (care perechi insumate dau un numar par) si inca un termen impar, adica A=par+impar=impar.

b) A+1=$1+ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011}$

Stim formula generala:

$x^{n} -1=(x-1)(1+x+ x^{2} + x^{3} +...+ x^{n-1} )$

Inlocuind x=3 si n=2012 obtinem:

$3^{2012} -1=(3-1)(1+ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011} )$=2(A+1)
Deci:
U(A+1)=U($(3^{2012} -1):2$)

Ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta din 4 in 4 astfel:
$U( 3^{1} )=3$
$U( 3^{2} )=9$
$U( 3^{3} )=7$
$U( 3^{4} )=1$

$U( 3^{5} )=3$
$U( 3^{6} )=9$
$U( 3^{7} )=7$
..............etc.
Cum 2012=4*503, deci este multiplu de 4, inseamna ca:
$U( 3^{2012} )=1$, deci

U(A+1)=U($(1 -1):2$)=0

c) Cum numerele care au ultima cifra 0 sunt divizibile cu 5 si pentru ca am aratat la b) ca U(A+1)=0, rezulta ca restul impartirii lui A+1 la 5 este 0, deoarece A+1 este divizibil cu 5.