Question

Se considera numarul A = 3¹ + 3² + 3³ + . . . + 3²°¹¹ .
a ) Aratati ca A este numar impar .
b ) Calculati ultima cifra a numarului A + 1 .
c ) Calculati restul impartirii numarului A + 1 la 5 .  

Answer 1

a) Stim ca:
par+par=par
impar+impar=par
par+impar=impar

si:

par*par=par*impar=par
impar*impar=impar

Cum puterile lui 3 sunt numere impare, inseamna ca, daca le grupam doua cate doua, obtinem numere pare, iar noi avem 2011 puteri de 3, deci un numar impar de numere impare, prin urmare va ramane o putere a lui 3 care "nu are pereche", deci A va fi de forma par+impar=impar, conform regulilor enumerate mai sus.

b) U(A+1)=U(A)+1
Obs ca ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta din 4 in 4:
$U( 3^{1} )=3$
$U( 3^{2} )=9$
$U( 3^{3} )=7$
$U( 3^{4} )=1$

$U( 3^{5} )=3$
$U( 3^{6} )=9$
.......
si cum 2011=4*502+3, deci vom avea 502 grupe de cate 4 puteri a caror ultima cifra, adunata, va da: U(3+9+7+1)=0, si inca primele 3 variante dintr-o grupa, deci
U(A)=0+U(3+9+7)=9
U(A+1)=U(U(A)+1)=U(9+1)=0

c) Cum ultima cifra a lui A+1 este 0, inseamna ca A+1 este divizibil cu 5 (din criteriul de divizibilitate cu 5), deci restul impartirii lui A+1 la 5 este 0.