Question

Se considera numarul A=3la puterea 1,3la puterea 2,3la puterea 3,...,3la puterea 2011. a)Aratati ca A este numar impar; b)Calculati ultima cifra a numarului A+1; c)Calculati restul impartirii numarului A+1 la 5

Answer 1

 a)A=3¹+3²+3³+.....+3²⁰¹¹ |×3
   3A=     3²+3³+.........+3²⁰¹¹+3²⁰¹² -
     A=3¹+3²+3³+........+3²⁰¹¹
_____________________________
   2A=3²⁰¹²-3
     A=3(3²⁰¹¹-1)/2
3¹=3
3²=9
3³=27
3⁴=81
3⁵=243 ⇒ ultima cifra la puterile lui 3 se repeta din 4 in 4 puteri
2011÷4=502 rest 3 ⇒Uc(3²⁰¹¹)=Uc(3³)=7
Uc(A)=3×(7-1)/2=3×6/2=18/2=9 ⇒A impar
b)Uc(A+1)=Uc(A)+1=9+1= 0 
c) deoarece Uc(A+1)=0 ⇒(A+1) divizibil cu 5 deci restul impartirii lui A+1 la 5 va fi 0

Answer 2

a) 3+3²+3³+....+3^2011=A...suma impara de numere impare, A , impar

Vom folosi notatia U (A) =ultima cifra a numarului A
b) A+1= 1+3+3²+3³+....+3^2011=(3^2012-1)/(3-1)=
 U (A+1) =U (3^2012-1)/2)= U ((3^2012-1)/2 )=
folosind notatia U2c (A)= ultimele 2 cifre ale lui A si
2012=4*503
calculand U2c (3^4k) ne vor da succesiunea 81,61,41,21,01
la oricare dintre acestea , scaznd 1 , vom obtine U2c∈{80,60,40,20,00}, care prin impartire la 2 ne va da Uc(A+1)=0

in caz   concret 3^2012=3^(4*503), deci U2c (A+1) vor fi 40 care prin impartire la 2 ne va da Uc=0

c) cum U2c (A+1)=40, ⇒restul impartirii la 5 este 0