Question

Se consideră numărul A= $2^{m}$ inmultit $5^{n}$ unde m,n naturale.Dacă numărul 2 inmultit cu A are cu doi divizori mai mulţi decât A, iar 5 inmultit cu A are cu cinci divizori mai mulţi decât A, atunci m+n este:
a) 4
b)3
c) 6
d)5
e)2

Answer 1

$\purple{\boxed{\bf ~m+n=5~}}$

Explicație pas cu pas:

Teorie:

Fie R- număr natural

$\bf R = x^{m} \cdot y^{n} ~~~~x;y- numere ~prime$

$\red{\boxed{\bf ~Numarul ~divizorilor~ lui ~R = (m + 1)\cdot (n + 1)~}}$

Rezolvare:

$\bf A = 2^m \cdot 5^n$

$\bf Numarul ~divizorilor~ lui ~A = (m + 1)\cdot (n + 1)$

$\bf 2\cdot A = 2^{m +1}\cdot 5^n$

$\bf Numarul ~divizorilor~ lui ~2\cdot A = (m + 2)\cdot (n + 1)$

$\bf 5\cdot A = 2^{m} \cdot 5^{n+1}$

$\bf Numarul ~divizorilor~ lui ~5\cdot A = (m + 1)\cdot (n + 2)$

$\bf \red{(m + 2)\cdot (n + 1)=2+(m + 1)\cdot (n + 1)}$

$\bf (m + 2)\cdot \underline{(n + 1)}-(m + 1)\cdot \underline{(n + 1)}=2$

$\bf \green{(n + 1)}\cdot\big[(m+2)-(m + 1)\big]=2$

$\bf (n + 1)\cdot\big(m+2-m - 1\big)=2$

$\bf (n + 1)\cdot\big(\not m+2\not-m - 1\big)=2$

$\bf (n + 1)\cdot1=2$

$\bf n + 1=2$

$\bf n =2 -1\implies\pink{\underline{n=1}}$

$\bf \red{(m + 1)\cdot (n + 2)=5+(m + 1)\cdot (n + 1)}$

$\bf \underline{(m + 1)}\cdot(n + 2) -\underline{(m + 1)}\cdot(n + 1)=5$

$\bf \green{(m + 1)}\cdot\big[(n+2)-(n + 1)\big]=5$

$\bf (m + 1)\cdot\big(n+2-n - 1\big)=5$

$\bf (m + 1)\cdot\big(\not n+2\not -n - 1\big)=5$

$\bf (m + 1)\cdot 1=5$

$\bf m + 1=5$

$\bf m =5-1$

$\bf \pink{\underline{m =4}}$

$\bf \purple{\underline{m+n}} = 4 + 1 =\purple{\underline{5}}$

==pav38==

Sper să fie de folos răspunsul meu chiar dacă vine cu 4 zile întârziere față de când ai postat exercițiul.

Baftă multă !