Question

Se consideră numărul natural A=6•2 la puterea n+1•8 la puterea n+15•2 la puterea n•8 la puterea n+1+2 la puterea n•8 la puterea n+2, unde n este un număr natural.
a) arată că A este pătratul unui număr natural pentru orice n€N.
b) demonstrează că 28|A pentru orice număr natural n.

Answer 1

Răspuns:

a) A = (2²ⁿ ·14)²

b) A = (2²ⁿ)² ·7·28

Explicație pas cu pas:

a)

A = 6·2ⁿ⁺¹·8ⁿ + 15·2ⁿ·8ⁿ⁺¹ + 2ⁿ·8ⁿ⁺²

A = 6·2ⁿ⁺¹·(2³)ⁿ + 15·2ⁿ·(2³)ⁿ⁺¹ + 2ⁿ·(2³)ⁿ⁺²

A = 6·2ⁿ⁺¹·2³ⁿ + 15·2ⁿ·2³ⁿ⁺³ + 2ⁿ·2³ⁿ⁺⁶

A = 6·2⁴ⁿ⁺¹ + 15·2⁴ⁿ⁺³ + 2⁴ⁿ⁺⁶

A = 2⁴ⁿ (6·2 + 15·2³ + 2⁶)

A = 2⁴ⁿ (12 + 120 + 64)

A = 2⁴ⁿ ·196

A = 2⁴ⁿ ·14²

A = (2²ⁿ)² ·14²

A = (2²ⁿ ·14)²  - deci A este pătrat perfect.

b)

A =  (2²ⁿ)² ·14² =  (2²ⁿ)² ·14 ·14 = (2²ⁿ)² ·7·2 ·14

A = (2²ⁿ)² ·7·28 - deci A este divizibil cu 28.