Question

Se consideră numerele a = 2" +4 şi b=3"+9, unde n este număr natural.
a) Verifică dacă pentru n = 4 numerele a și b sunt simultan divizibile cu 10? Dar pentru n = 5? Dar pentru n = 8?
b) Ce formă trebuie să aibănumerele naturale n pentru ca numerele a şi b să fie simultan divizibile cu 10?

Answer 1

Răspuns:

a) Verifică dacă pentru n = 4 numerele a și b sunt simultan divizibile cu 10? Dar pentru n = 5? Dar pentru n = 8?

n = 4 ⇒

a = 2⁴ + 4 = 16 + 4 = 20 divizibil cu 10

b = 3⁴ + 9 = 81 + 9 = 90 divizibil cu 10

⇒ a și b sunt simultan divizibile cu 10

n = 5 ⇒

a = 2⁵ + 4 = 32 + 4 = 36

b = 3⁵ + 9 = 243 + 9 = 252

⇒ a și b nu sunt simultan divizibile cu 10

n = 8 ⇒

a = 2⁸ + 4 = 256 + 4 = 260 divizibil cu 10

b = 3⁸ + 9 = 6561 + 9 = 6570 divizibil cu 10

⇒ a și b sunt simultan divizibile cu 10

b) Ce formă trebuie să aibă numerele naturale n pentru ca numerele a şi b să fie simultan divizibile cu 10?

a = 2ⁿ + 4 divizibil cu 10 dacă ultima cifră a lui 2ⁿ = 6

u(2¹) = 2

u(2²) = 4

u(2³) = 8

u(2⁴) = 6

u(2⁵) = 2

⇒ u(2ⁿ) se repetă din patru în patru

u(2ⁿ) = 6 dacă n multiplu de 4 ⇔ u(2ⁿ) = 6 pentru n = 4k

b = 3ⁿ + 1 divizibil cu 10 dacă ultima cifră a lui 3ⁿ = 1

u(3¹) = 3

u(3²) = 9

u(3³) = 7

u(3⁴) = 1

u(3⁵) = 3

⇒ u(3ⁿ) se repetă din patru în patru

u(3ⁿ) = 1 dacă n multiplu de 4 ⇔ u(3ⁿ) = 1 pentru n = 4k

⇒ a și b sunt simultan divizibile cu 10 dacă n = 4k, unde k ∈ N*

(pentru k = 0, a nu este divizibil cu 10)