Question

Se considera numerele naturale nenule si distincte a si b pentru care a+a/4=b+4/b. Aratati ca numarul n=3ab-10 este natural.

Answer 1

a + a/4 = (b +4)/b
5a/4 = (b+4)/b      | ·4/5    (1)
a = 4(b+4) /5b
3ab - 10 = 3·4(b+4)/(5b) ·b - 10 = 12(b + 4)/5 - 10 = 12b/5 + 48/5 - 10 =
= 12(b+4)/5  - 10
din (1) ⇒  (b+4) = 5ab/4  ⇒    (b+4) | 5      (b+4) = 5k    k∈N*
⇒ 12(b+4) /5 - 10 = 12·5k/5 - 10 = (12k - 10 ) ∈ N