Question

Se considera numerele reale $a_{1}$, $a_{2}$,..., $a_{n}$,..... cu proprietatea ca $a_{1}$ = $\sqrt{2}$, $a_{n+1}$ = $\sqrt{2 + a_{n}}$, n ≥ 1.


Sa se demonstreze ca $a_{n}$ ≤ 2

Answer 1

Răspuns:

Se foloseste inductie dupa $n\geq 1$

I.Pentru n=1, avem $a_1=\sqrt{2}\leq 2$ (A)

II.Presupunem ca $a_n\leq 2$ pentru un $n\geq 1$

Atunci, din ipoteza de inductie,

$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\leq \sqrt{2+2}=2$.

Din I si II, conform principiului inductiei matematice, rezulta ca

$a_n\leq 2,\;(\forall)n\geq 1$.

Mai explicit:

$a_1=\sqrt{2}\leq 2$

Pentru ca $a_1\leq 2$ rezulta:

$a_2=\sqrt{2+a_1}\leq \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$

Pentru ca $a_2\leq 2$ rezulta:

$a_3=\sqrt{2+a_2}\leq \sqrt{2+2}=2$

si asa mai departe...