Question

Se consideră punctele A, B,C,D astfel încât AB (vector) = CD (vector). Să se arate că AC (vector) + DB (vector)=0

Answer 1

Daca AB = CD (vectorial) atunci punctele ABCD sunt coliniare.
Doi vectori u si v sunt coliniari daca se poate scrie o relatie de forma u = k x v ( k ∈ R). Pentru noi, relatia este AB = 1 x CD.

AC = AB+BC (vectorial)
DB = DC + CB (vectorial)

BC = - CB (vectorial)
BC = CB (segmente)

AC + DB =  AB+BC + CB +DC (vectori) (relatia 1)
Dar din enunt avem AB = CD (vectori) ⇒ AB = - DC ⇔ DC= - AB
Si BC = - CB (vectori)
Ne intoarcem in relatia relatia 1 si inlocuim pe DC cu - AB si pe CB cu - BC

Relatia 1 devine

AB + BC - BC - AB= 0 (vectori)