Question

Se consideră șirul 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ... . a) Pe ce poziție apare prima dată numărul 100? b) Care este numărul de pe poziția 1000? c) Calculați suma primilor 55 de termeni ai șirului

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

ultimul număr 99 este pe poziția:

1 + 2 + 3 + ... + 99 = ½×99×100 = 4950

=> următorul număr este 100

=> numărul 100 apare prima dată pe poziția 4951

b)

½×n(n+1) ≤ 1000

n(n+1) ≤ 2000

44×45 = 1980 < 2000 < 2070 = 45×46

numărul 44 se termină la poziția:

½×44×45 = ½×1980 = 990

urmează număul 45, care va ocupa și poziția 1000

c)

½×n(n+1) ≤ 55

n(n+1) ≤ 110

10×11 = 110 => n = 10

$S = {1}^{2} + {2}^{2} + ... + {n}^{2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

$\implies$

$S = {1}^{2} + {2}^{2} + ... + {10}^{2} = \dfrac{10(10 + 1)(20 + 1)}{6} = \\ = \dfrac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385$