Question

Se considera sirul 1,2,2,3,3,3,4,4,4......
Determinati al 2012-lea termen al sirului

Answer 1

   
Descriem sirul:
Sirul este format din grupe de numere identice.
Fiecare grupa are atatea numere in grupa cat este numarul de ordine al grupei si egal cu fiecare numar din grupa.

Numarul de numere "n" este format dintr-un sir format din k grupe este:

n = 1+2+3+4+ ... + k

Al 2012-lea numar din sir poate sau nu poate sa fie ultimul numar din grupa.

Vom rezolva inecuatia:  

[tex]\displaystyle\\ 1+2+3+4+ ... + k \geq 2012\\\\ \frac{k(k+1)}{2} \geq 2012\\\\ k(k+1) \geq 2012 \times 2\\\\ k^2 +k -4024 \geq 0\\\\ k_{12} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}= \frac{-1\pm\sqrt{1+16096}}{2}= \frac{-1\pm\sqrt{16097}}{2}\\\\ \text{Eliminam solutia negativa.}\\\\ k \ \textgreater \ \frac{-1+\sqrt{16097}}{2}=\frac{-1+126,87}{2}=\frac{125,87}{2}=62,93\\\\ k\ \textgreater \ 62,93~~~si~~~k\in N ~~ \Longrightarrow ~~k = 63[/tex]


[tex]\displaystyle\\ \text{Calculam numarul de termeni al primelor 63 de grupe.}\\\\ n = \frac{63(63+1)}{2}= \frac{63\times 64}{2}= 63\times 32 =\boxed{2016}\\\\ \text{Numarul 2012 este cu 4 mai mic decat 2016.}\\ \text{Numarul 2016 este ultimul numar din grupa 63}\\ \text{Dar grupa 63 are 63 de numere identice: 63; 63; 63; ...; 63}\\ \text{Rezulta ca al 2012-lea numar din sir este:} ~~\boxed{\bf 63} [/tex]