Question

se considera sirul de nr A(1), A(2), ...A(100) unde A(n)=888.....(de n ori)5555555...(de n+1 ori),

a)cate nr sunt divizibile cu 9

b)care este catul si restul impartirii lui A(100) la 16

Answer 1

a)A(1)=855
A(2)=88555
A(3)=8885555
A(4)=888855555
....
A(100)=8888(de 100 ori)55555(de 101 ori)
Un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor este multiplu de 9.
Pentru A(1)=855 avem 8+5+5=18 divizibil cu 9=> A(1) divizibil cu 9
Suma cifrelor va fi in general :
8·n+5(n+1)=9k
8n+5n+5=9k
13n+5=9k
9n+4n+9-4=9k
9(n+1)+4(n-1)=9k
Deducem ca n-1 trebuie sa fiemultiplu de 9=>
n=1,10,19,28,37,46,55,64,73,82,91,100.
Numerele A(1),A(10),,...,A(100) sunt divizibile cu 9.

b)A(100)=8888(de 100 ori)55555(de 101 ori)=
=8888(de 100 ori)55550000+ 5555=
=8888(de 100 ori)5555*1000+5555=
=8888(de 100 ori)5555*625*16+16*347+3=
=16(8888(de 100 ori)5555*625+347)+3
Deducem ca A(100):16 da restul 3.