Question

Se considera sirul $(a_{n} )_{n∈N*$
a1∈(0,1) si $a_{n+1}$ = $a_{n} (1-\sqrt{a_{n} } )$ ∀n∈N*

Sa se arate ca an ∈ (0,1) , ∀n ∈ N*

Sa se arate ca sirul bn,dat de $b_{n} ={a_{1}}^2 +{a_{2}}^2 +{a_{3}}^2 +...+{a_{n}}^2 ,$ ∀n∈N*, este marginit superior de a1

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Faptul ca aₙ ∈(0,1 ) se demonstreaza foarte simplu prin inductie , nu voi sta sa demonstrez asta( daca nu reusesti , poti sa imi scrii in comentarii) .

Pentru punctul b) putem folosi urmatorul trick:

$\texttt{Relatia de recurenta e mai poate scrie : }\\a_n\cdot \sqrt{a_n}=a_n-a_{n+1}\\\texttt{Tinand cont de faptul ca }a_{n}\in (0,1) \texttt{ rezulta ca }\\a_n^2<a_n\sqrt{a_n} =a_n-a_{n+1}\\\texttt{Prin urmare:}\\b_n=a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_n^2<a_1-a_2+a_2-a_3+\ldots+a_n-a_{n+1} =\\ =a_1-a_{n+1} < a_1 ,~ Q.E.D.$