Question

Se considera tetraedrul ABCD in care AB perpendicular pe AC perpendicular pe AC perpendicular pe AD perpendicular pe AB:
a)Demonstrati ca muchiile opuse ale tetraedrului ABCD sunt perpendicularedoua cate doua .
b) daca M apartine lui BC astfel incat AM perpendicular pe BC aratati ca BC perpendiculat pe DM
c) daca AB=30 cm , AC=40 cm si AD=18 cm calculati aria triunghiului BDC

Answer 1

varianta 1, text completat cu piramida triunghiulara regulata, pt a fi in cadrul materiei de gimnaziu


a)
 AB⊥AC (ipoteza)⇒ΔABC , triunghi dreptunghic isoscel , AB≡AC(1)
AC⊥AD (ipoteza)⇒ΔACD , triunghi dreptunghic isoscel , AC≡AD (2)
din (1) si (2)
AB≡ADsi ΔBAD, dreptunghic isoscel  (3)
(10), (2) si (3)⇔fetele laterale sunt triunghiuri dreptunghice isoscele

AB⊥AC (4)
AB⊥AD (5)
din (4) si (5)⇒AB⊥(ADC)⇒AB⊥DC⊂(ABC)
analog  demonstreaza AD⊥BC
 si
AC⊥BD, cerinta

b)AM⊥BC⇒AM inaltime in tr.isoscel BAC⇒AM mediana⇒BM≡MC⇒DM mediana in ΔBCD (6)

dar ΔBAC ΔCAD si ΔDAB, tr dr isoscele cu catetele congruente
⇒ΔBCD echilateral (7)
din (6) si (7)⇒DM inaltime, DM⊥BC, cerinta

punctul c) aveti dreptu;l sa NU il faceti, ptca nu aveti de studiat decat piramidele regulate (muchiile laterale congruente)
fetele laterale fiind triunghiuri dreptunghice (necongruemte) , rezulta imediat
BC²=30²+40²⇒BC=50
BD²=30²+18²⇒ BD=6√24
CD²=40²+18²⇒BD=2√481
Aria , fiind un tr oarecare se poate calcula doar cu formula lui Heron (care nu intra in programa de Evaluari nationale)
A= √[p(p-BC)(p-CD)(p-BD)], unde p= (BC+CD+DA)/2 si nu iese un numar rational



Varianta  pt ABCD piramida neregulata (muchii laterale neegale)

a)AB⊥AC
AB⊥AD⇒AB⊥(DAC)⇒AB⊥CD⊂(DAC)

AC⊥AB
AC⊥AD⇒AC⊥(BAD)⇒AC⊥BD⊂(BAD)

AD⊥AB
AD⊥AC⇒AD⊥(BAC)⇒AD⊥BC⊂(BAC)



b)AM⊥BC
AD⊥BC ( cf punctului a)
din acestea 2 rezulta ca  BC⊥(ADM), BC⊥MD⊂(ADM), MD⊥BC, cerinta


Pt a fi corect si in cadrul materiei rezolvata (exclus punctl c) trebuie ca tetraedrul sa fie o piramida triunghiulara regulata , sau sa se specifice , pe langa relatiile de perpendicularitate si AB≡AD≡AC