Question

Se consideră toate șirurile de lungime 10 formate din 0 și 1. Câte dintre acestea au proprietatea că suma oricăror 5 elemente de pe poziții consecutive este 3?

Answer 1

Sa presupunem ca avem deja totate sirurile facute si alegem unul oarecare dintre ele.
Acest sir are proprietatea de mai sus. O sa notam elementele sirului cu x1,x2,...,x10. Daca luam primele 5 elemente din sir, atunci suma lor trebuie sa fie 3. Acum, daca luam urmatoarele 5 din sir, suma lor trebuie sa fie tot 10:

Primele 5: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3
Urmatoarele: x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3

Facem diferenta intre cele 2 ecuatii:
x1 - x6 = 0 ==> x1 = x6

Am aflat ca primul element este egal cu al saselea, in cazul in care luam primele 2 secvente de 5. Deci, daca il schimbam pe x1, atunci il shimbam automat si pe x6. Asta inseamna ca nu e nevoie sa tinem cont decat de unul dintre ele.

Dar putem face acest lucru pentru toate perechile de secvente consecutive, iar analog, vom afla ca:
 x2 = x7, x3 = x8, x4 = x9 si x5 = x10.

Rezulta ca schimbarea unuia dintre primele 5 elemente, duce la schimbarea unui element unic dintre ultimele 5. Asadar, trebuie sa tinem cont doar de primele 5 elemente. Dar aceste 5 elemente trebuie sa respecte conditia ca suma lor sa fie 3.

Acum, problema se reduce la a gasi cate siruri de 5 elemente au suma 3, sau, mai exact, cate siruri de 5 elemente au 3 dintre ele egale cu 1.


Daca stii combinatorica, atunci, raspunsul este:
$C_{5}^3 =10$

Daca nu atunci, te poti gandi in cate moduri poti parca 3 masini identice in 5 parcari, si poti lua fiecare caz:
11100
11010
11001
10110
10101
10011
01110
01101
01011
00111