Question

Se considera trapezul dreptunghic ABCD, AB || DC . Se stie ca m(<A)=90 , m(<B)=60 , AC _|_ BC si BC=16cm.
a)Aratati ca AB=32cm
b)Aflati lungimea luniei mijlocii a trapezului.

Answer 1

Faci desenul astfel:

Desenezi triunghiul ABC dreptunghic in C, cu ipotenuza AB orizontala si cateta BC=jumatate din ipotenuza AB (ca tot o sa demonstram noi ca e asa...). Apoi duciperpendiculara in A pe AB, care va intersecta paralela din C la AB in D. Ai obtinut, astfel, trapezul dreptunghic in A si D, cu AB||CD.

a) In triunghiul ABC dreptunghic in C, m(<ABC)=60 grade, deci m(<BAC)=90-60=30 grade. Stim ca "intr-un triunghi dreptunghic cateta opusa unghiului de 30 grade este jumatate din ipotenuza", deci ipotenuza AB este dublul catetei BC, care se opune unghiului <BAC cu masura de 30 grade.
Deci AB=2*BC=2*16=32 cm.

b) Cum AB||CD rezulta ca m(<ACD)=m(<BAC)=30 grade (ca unghiuri alterne interne congruente), deci in triunghiul ACD dreptunghic in D avem m(<ACD)=30 grade, deci ipotenuza AC=2*AD.
In triunghiul ABC calculam cateta AC:
$32^{2} = 16^{2} + AC^{2}$
$AC^{2} = 32^{2} - 16^{2} =(2*16)^{2}-16^{2}=$
$= 16^{2} *3$
AC=$16* \sqrt{3}$
deci AD=$8* \sqrt{3}$


iar in triunghiul ACD dreptunghic in D avem, cu Teorema lui Pitagora:
$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$
$16^{2} *3 =8^{2} *3 + CD^{2}$
CD=24
Stim ca lungimea liniei mijlocii este egala cu semisuma bazelor trapezului, adica = (AB+CD)/2=(24+32)/2=56/2=28