Question

Se considera triunghiul ABC cu m(unghiului ABC)=60°si AB=10cm . Se noteaza cu D piciorulu perpendicularei din A pe BC , M mijlocul laturii [AB] , cu P punctul in care cercul circumscris triunghiului ABD intersecteaza latura [AC] ,iar cu H intersectia dreptelor BP si AD. Sa se calculeze:
a) raza cercului circumscris triunghiului ABD
b) lungimea segmentului DM
c) distanta de la centrul cercului circumscris ABD la dreapta AD
d) m unghiului BPD si masura unghiului DPC

Answer 1

tr. ABD este dreptunghic in D (AD⊥BC
DM este mediana (BM=MA), M este mijlocul lui AB
se stie ca intr-un tr. dreptunghic mediana este jumatate din ipotenuza:
DM=BM=MA=R raza cercului circumscris triunghiului ABD
de altfel orice triunghi dreptunghic se inscrie intr-un semicerc, ipotenuza acestuia este chiar diametru cercului.
R=AB/2=5=DM

distanta de la centrul cercului M la AD are aceiasi masura cu segmentul,MN, MN║BC, N∈AD, si in plus MN e perpendiculara pe AD.
in aceasta situatie MN e linie mijlocie in tr.ABD (nu mai cazu sa demonstrez asta), deci:
MN=BD/2
in tr. ABD ∡BAD=90-60=30 deci BD=AB/2 (teorema ∡30)
BD=5
MN=5/2 cm
∡BPD are aceiasi masura cu ∡BAD (ambele cu varful pe cerc si subantind acelasi arc, BD)
∡BPD=30°
∡APB este cu varful pe cerc si are masura arcului AB/2 = 180/2=90°
∡BPC=180 - ∡APB - ∡BPD=180 - 90 - 30
∡BPC=60°
 am folosit teoria unghiurilor cu varful pe cerc pe care cred ca ai facut-o in clasa.
am sarit unele amanunte dar te lamuresc unde nu sti.
nu prea inteleg ce rol are punctul H pentru ca nu se face referire la el.