Question

Se considera triunghiul ABC.Sa se arate ca numerele a²,b²,c² formeaza o progresie aritmetica daca si numai daca ctgA,ctgB,ctgC sunt in progresie aritmetica.

Answer 1

ctg A , ctgB , ctg C  in progresie aritmetica  :  ctgB= ( ctgA + ctg C ) / 2 
2·ctgB = ctg A + ctg C 
2·cosB / sinB  = sinB  /  sinA · sinC 
2 ·cos B· sinA· sinC  - sin²B =0      ;  
 sinA = a/ 2R    ; sinB = b /2R  ; sinC=c / 2R 
     ( a² + c² - b ² ) ·a ·c
2 ·--------------------------------------         -   b²  / 4 R²  = 0             I   · 4 R²
           2·a·c    · 2R· 2R
 a² + c²  - 2·b² =0 
  2· b² = a² + c²              ⇒     b² = ( a² + c² ) /2 conditia ca  
          a²  , b²   , c² sunt in progresie aritmetica


ex. sin²A +2 sinB ·sinC·cosA = sin²B +sin²C
sinA = a /2R  , sinB = b /2R   ; sinC =c /2R           si teorema cos
⇒ relatie adevarata