Question

Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care are loc relația sin B + cos B = sin C + cos C. Să se demonstreze că triunghiul ABC este isoscel.

Answer 1

Relatia din ipoteza mai poate fi scrisa si:
[tex]\sin B-\sin C=\cos C-\cos B\\ 2\sin\frac{B-C}{2}\cos{\frac{B+C}{2}}=2\sin\frac{B-C}{2}\sin\frac{B+C}{2} [/tex]
Daca trinughiul este ascutitunghic rezulta ca (B+C)/2<90 de grade, este deci un unghi in primul cadran.
Vom presupune prin reducere la absurd ca B≠C de unde rezulta ca 
$\sin\frac{B-C}{2}\neq0$, putem simplifica prin acest numar si prin 2 relatia obtinuta mai sus:
[tex]\cos{\frac{B+C}{2}}=\sin{\frac{B+C}{2}}\Rightarrow \frac{\sin{\frac{B+C}{2}}}{\cos{\frac{B+C}{2}}}=1\Rightarrow \tan\frac{B+C}{2}=1\Rightarrow\\ \frac{B+C}{2}=45^0\Rightarrow B+C=90^0 \Rightarrow A=90^0 \text{ (Contradictie cu ip)}\\[/tex]
Contradictia provine din presupunerea ca B≠C. Deci B=C, de unde rezulta ca triunghiul este isoscel.