Question

Se considera triunghiul dreptunghic ABC, m(A)=90 grade, in care semidreapta [AM este bisectoarea unghiului BAC, M∈ (BC). Prin M se duc paralelele MP//AC si MN//AB, cu P∈(AB), N∈(AC). Demonstrati ca APMN este un patrat. 

Answer 1

m (A) = 90 grade
MN II AB ; P∈AB⇒MN II AP
                               AN secanta

BAC ≡ MNC =90 grade ( unghiuri corespondente)⇒ m (MNA) = 90 grade (suplementar cu MNC)

MP II AC ;N ∈ AC⇒MP II AN
                                AP secanta 

BAC≡BPM =90 grade (corespondente)⇒m(APM) =90 grade (suplementar cu BPM)

(1) m (A)=90 grade
(2) m(MNA)=90 grade
(3) m(APM)= 90 grade 

 Din 1 ,2 si 3 ⇒ APMN este dreptunghi

AM bisectoarea BAC ⇒ m(MAN)=45 grade⇒ΔMAN dreptunghic, isoscel⇒NA=NM

Stim ca dreptunghiul cu doua laturi alaturate congruente este patrat

APMN dreptunghi
NA=NM 

Din astea doua rezulta ca APMN este patrat