Question

Se considera triunghiul echilateral abc,IAR IN EXTERIOR PE LATURILE [AB] SI [AC] se construiesc triunghiurile echilateral ABD si ACE avand centrele de greutate in punctele M si respectiv N.Aratati ca [MN}=[BD]

Answer 1

triunghiurile ABC, ABD si ACE sunt echilaterale si congruente, inaltimile acestora sunt si mediane si mediatoare si bisectoare

punctele DAE sunt colineare deoarece ∡DAB+∡BAC+∡CAE=60+60+60=180°
notam:
DP inaltimea din D in tr. ABD, P∈AB
EQ inaltimea din E in tr. ACE, Q∈AC
CP este mediana in tr. ABC deci si inaltime ⇒ D;P;C sunt colineare
BQ este mediana in tr. ABC deci si inaltime ⇒ B;Q;E sunt colineare
O=CP∩BQ intersectia inaltimilor in tr.ABC

DM=NE=2h/3 medianele se intersecteaza la 2/3 de varf si 1/3 de la baza, h este inaltimea triunghiurilor.
DM║AN deoarece ∡MDA=∡NAE=30° alterne interne
rezulta ca patrulaterul DANM este paralelogram, are 2 laturi opuse paralele si egale. rezulta:
MN║DE
in tr. ODE MN este linie mijlocie pentru ca:
MN║DE
DM=NE=(MP+PO)=(NQ+QO)
DM=NE=2h/3
MP+PO=h/3 + h/3=2h/3
prinurmare DM=MO=ON=NE 
rezulta ca:
MN=DE/2 =AD=BD
centru de greutate intr-un tr. echilateral este intersectia medianelor si se confunda cu ortocentru, centrul cercului circumscris si centrul cercului inscris.
poate am sarit unele detalii elementare dar daca urmaresti cu atentie nu e greu sa intelegi pe o figura cu notatiile mele.