Question

aratati ca daca un triunghi ABC cu BC=a AC=b si AB=c verifica relatia a supra b+c -a=b supra c+a-b =c supra a+b-c ,atunci triunghiul este echilateral.
Dau coroana plus 10 pct

Answer 1

a/(b+c-a)=b/(a+c-b)=c/(a+b-c)=(a+b+c)/(b+c-a+a+c-b+a+b-c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1

1)  b+c=2a
2)  a+c=2b
3)  a+b=2c

din 1) scoatem pe c=2a-b si inlocuim in 2)
4)  a+2a-b=2b ⇒ 3a=3b ⇒ a=b

din 2) scoatem a=2b-c si inlocuim in 3)
5)  2b-c+b=2c ⇒ 3b=3c ⇒ b=c

din 4) si 5) rezulta:
a=b=c

am folosit proprietatile rapoartelor: m/n=p/q=(m+p)/(n+q)