Se considera triunghiul echilateral ABC si V un punct exterior al planului (ABC), egal departat de punctele A, B, C. Cunoastem ca VA=12cm si d(V,(ABC))=6cm.
a) Aratati ca AB=18cm
b)Demonstrati ca VB este perpendicular pe AC
c)Demonstati tg(<((VAB), (VAM)), unde punctul Meste mjlocul laturii BC.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Daca V un punct exterior al planului (ABC), egal departat de punctele A, B, C, rezulta ca pr(V)(ABC) este centrul cercului circumscris ΔABC, deoarece daca oblicele VA=VB=VC, atunci sunt egale si proiectiile lor AO=BO=CO. Deci d(V,(ABC))=6cm=VO, VO⊥(ABC)
Atunci din ΔVAO, avem AO²=VA²-VO²=12²-6²=6·18=6²·3, deci AO=6√3
dar AB=AO·√3=6√3 ·√3=6·3=18cm.
b) ducem prin B, in planul (ABC), dreapta m║AC. Deoarece dreapta AO⊥AC, deci AO⊥m. Dar conform teoremei celor 3 perpendiculare, daca proiectia AO⊥m, atunci si oblica VB⊥m, atunci VB⊥AC.
c) tg(<((VAB), (VAM))=???
Ungiul dintre doua plane este unhiul liniar ∡(BFM) unde BF⊥VA si MF⊥VA, iar (VAB)∩(VAM)=VA.
AM=AB√3=18√3. Din formula ariei triunghiului ⇒AM·VO=VA·MF,
MF=AM·VO:VA=9√3·6:12=9√3/2
Atunci din ΔAMF, AF²=AM²-MF²=(9√3)²-(9√3/2)²=(9√3)²·3/4=9²·9/4, deci AF=27/2
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
