Question

Se considera triunghiul isoscel Abc, cu [AB]congruent cu [AC] si [AP]congruent cu [AQ], unde P apartine (AB) si Q apartine (AC), iar BQintersectat cu CP in M. Aratati ca:
a. [BQ]congruent cu [CP]
b. [MP]congruent cu [MQ]
c. AM perpendicular pe BC
Va rog mult

Answer 1

a) Comparam ΔBCQ cu ΔCBP

[PB]≡[CQ]

[BC]≡[BC]

∡PBC≡∡QCB

Prin cazul LUL rezulta ca ΔBCQ≡ΔCBP, de unde rezulta ca [BQ]≡[CP]

b) Comparam ΔPBM cu ΔQMC

[PB]≡[QC]

∡PBM≡∡QCM (din compararea ΔAPC cu ΔAQB)

∡BPM≡∡CQM (din compararea ΔAPC cu ΔAQB va rezulta ca ∡APC≡∡AQB, ca atare si unghiurile suplementare lor vor fi congruente)

Prin cazul ULU rezulta ca ΔPBM≡ΔQCM, de unde rezulta ca [MP]≡[MQ]

Daca nu reusiti sa dovediti ca ΔAPC≡ΔAQB, acestea sunt congruentele: [AP]≡[AQ], [QB]≡[BC], [AB]≡[AC]

c) Comparam ΔAPM cu ΔAQM

[AM]≡[AM]

[AP]≡[AQ]

[PM]≡[MQ]

Prin cazul LLL rezulta ca ΔAPM≡ΔAQM, de unde rezulta ca ∡PAM≡∡QAM. Iar pentru ca cele 2 unghiuri sunt congruente, inseamna ca AM este bisectuare pentru ∡BAC al ΔABC. Si una din proprietatile Δ isoscel este ca toate liniile importante (bisectuarea, inaltimea, mediana si mediatoarea) se regasesc pe aceeasi linie, doar pentru varful care contine unghiul necongruent, adica in cazul nostru A.

Asadar, toate liniile importante trec printr-o singura linie din punctul A. Cum am demonstrat ca AM este bisectuare, automat devine si inaltime. Adica, AM⊥BC.