Question

Se da f(f(x)) = x^2 -x +1. Se cere f(x)

Answer 1

f(x) = ax +b
f[f(x)] = (ax+b)² - (ax+b) + 1 = a²x² + 2abx + b² - ax - b +1=
 f[f(x)] = a²x² +[a(2b - 1)]x + b² - b + 1
f[f(x)] = x² - x + 1
⇒ a² = 1    a∈ {-1,1}
a(2b -1) = - 1   a = - 1    2b = 2  b = 1
a = 1  b = 0
 b² - b + 1= 1     b(b-1) =0    b ∈ {0,1}
Raspuns 1) :  a = -1  b = 0    f(x) = -x
2) a = 1  b = 0   f(x) =x
3) a = -1  b = 1    f(x) = -x + 1
4)  a = 1  b = 1  f(x) = x + 1

Answer 2

Ok, f(x) nu se poate determina, dar f(1) da.

Pentru x=1, obţinem $f(f(1))=1^2-1+1=1$, deci şi $f(f(f(1)))=f(1).$
Pentru x=f(1), obţinem $f(f(f(1)))=f(1)^2-f(1)+1$, deci
 $f(1)^2-f(1)+1=f(1) \Rightarrow (f(1)-1)^2=0 \Rightarrow f(1)=1.$