Question

Se da functia:
f:R->R, f(x)=x^3-3x+1. Scrieti ecuatiile acelor tangente la graficul functiei f care sunt drepte orizontale.

Answer 1

anulam derivata, pt ca acolo tangentele sunt drepte ootrizontale (au panta nula)
3x²-3=0
x²-1=0
x1=-1, x2=1
 f(-1)=-1+3+1=3
atunci ecuatia tangentei in pct de coordonate (-1;3) este y=3
 

f(1)=1-3+1=-1
ecuatia tangentei in (1;-1) va fi y=-1

Answer 2

   
O tangenta la graficul unei functii este orizontala
doar intr-un punct de extrema (maxim sau minim).

Graficul functiei de gradul 3 poate avea
cel mult doua extreme (un maxim si un minim).

Coordonatele x ale extremelor le aflam din ecuatia:

[tex]f'(x) = 0\\ f(x) = x^3-3x+1 \\ f'(x) = 3x^2 -3\\\\ \text{Rezolvam ecuatia:}\\\\ 3x^2-3=0 ~~\Big| : 3\\\\ x^2-1 = 0\\\\ x^2 = 1\\\\ x = \pm \sqrt{1} \\\\ x_1 = \boxed{-1}\\\\ x_2 =\boxed{1}\\\\ [/tex]

Calculam  f(-1)  si f(1) pentru a afla coordonatele y ale extremelor.

[tex]f(x)=x^3-3x+1\\ f(-1) = (-1)^3 -3 \cdot (-1) +1 = -1+3+1 = \boxed{3} \\ \Longrightarrow~~\text{ecuatia tangentei la G(f) in punctul (-1,~3): }~~~ \boxed{y = 3}\\\\ f(1) = (1)^3 -3 \cdot 1 +1 = 1-3+1 = \boxed{-1} \\ \Longrightarrow~~\text{ecuatia tangentei la G(f) in punctul (1,~-1): }~~~ \boxed{y = -1}\\\\ [/tex]

Ecuatiile obtinute nu-l au in componenta pe x deoarece sunt ecuatiile unor drepte orizontale.