Question

Se da polinomul

$f = X^{4} - 3X - 1$

$S_{n}=x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + x_{3}^{n} + x_{4}^{n}$

Se cere numărul rădăcinilor raționale

Answer 1

1)Ecuatia este cu coeficienti intregi, radacinile intregi trebuie sa divida termenul liber dar +1 si -1, nu sunt radacini deci rad. intregi nu are, de asemenea nici rationale , daca ar exista radacina p/q (cu p, q rationale), p trebue sa divida termenul liber iar q sa divida coeficientul lui $x^{4}$, deci tot1 se obtine ,rezulta ca nu are radacini rationale.
2)Inmultind ecuatia cu $x^{n-4}$, punem conditia ca ecuatia obtinuta sa fie satisfacuta de cele 4 radacini si adunandule se obtine relatia:
$S_{n}=3 S_{n-3}+ S_{n-4}$