Question

Se da triunghiul dreptunghic ABC cu masura unghiului A = 90 de grade, AB = 2a si masura unghiului B = 60 de grade si ytriunghiul isoscel ABD cu AD =BD = a√5, avand latura [AB] comuna. Stiind ca planele (ABD) si (ABC) sunt perpendiculare, aflati:
a)  distantele de la punctul D la dreptele BC si respectiv AC;
b)  distanta de la punctul C la dreapta BD.
Va multumesc.

Answer 1

Triunghiul DBC fiind isoscel, fie O mijlocul lui [BC]. Atunci DO este inaltime si cu T. lui Pitagora  in triunghiul DOC, se obtine DO=a.(aceasta este distanta de la D la BC)
Daca din O ducem perpendiculara pe AC si notam cu E piciorul ei, atunci EO=a, deoarece este linie mijlocie in triunghiul ABC.
Cu teorema celor trei perpendiculare ($DO\bot(ABC), OE\bot CA, EO, CA\subset(ABC)$)⇒$DE\botCA$, deci distanta de la D la CA este DE, pe care il calculam cu T lui Pitagora ion triunghiul DOE si obtinem DE=$a \sqrt{2}$.
Pentru b)
Se scrie aria triunghiului DCB in doua feluri>
BC·DO/2=DB·d(C,DB)/2⇒$[tex]4a^2:2=a\sqrt5\cdot d(C,BD):2\Rightarrow d(C,DB)=\dfrac{4a\sqrt5}{5}$[/tex]