Question

se da un cub , aratati ca dreapta A'C perpendiculara pe (AB'D')

Answer 1

se observa ca A'C este inclusa in planul (AA'C'C)
se mai observa ca intersectia planului (AA'C'C) cu planul (AB'D') este segmentul AO', O' este centrul planului (A'B'C'D') prin urmare A'C intersecteaza pe AO', notam cu P punctul de intersectie al acestora.
acum studiem separat pe alta figura un dreptunghi AA'C'C, AA'=l, AC=l√2,  in care ducem diagonala A'C si unim A cu O', O' se afla la jumatatea lui A'C' si regasim punctul P, P=AO' ∩ A'C
calculam  A'C si AO'
A'C=√(2l^2+l^2)
A'C=l√3
AO'=√(l^2+2l^2/2)
AO'=l√(3/2)
pentru usurinta calculelor notam:
PO'=x
PA=l√(3/2) - x
PA'=y
PC=l√3 - y
din asemanarea triunghurilor A'PO' si PAC rezulta
A'O'/AC=x/l√[(3/2) - x] = y/(l√3 - y)
cu raportul A'O'/AC=1/2 scoatem pe rand pe x si y
x=(l/3)[√(3/2)]
y=l/3 . √3
x^2=l^2 /6
y^2=l^2 /3
x^2+y^2 = l^2 /2
pe de alta parte A'O'^2 = l^2 /2 ceea ce ne spune ca tr.A'O'P este dreptunghic in P (relatia dintre laturi este chiar teorema pitagora)