Question

Se da urmatorul ex: Sa se arate ca pentru orice numar n apartine N au lor relatiile:
a)9^n-1 se divide cu 8
b)n^3+5n se divide cu 6
c)13^n +7^n-2 se divide cu 6
d) 3^2n-1+2^n+2 se divide cu 7

Dau coroana!

Answer 1

b)n³=n²·n⇒n³+5n=n²·n+5n=n(n²+5)
daca >n=1⇒1(1²+5)=1·6=6                                                         
n=2⇒2(2²+5)=2·9=18                                                         
n=3⇒3(3²+5)=3·14=42


a)
Cum  sunt nr impare, rezulta ca suma lor este para, deci suma totala este de forma:
par+par=par, deci suma   este divizibila cu 2.
                                                                                                                Observam ca 13=12+1=3*4+1=(multiplu de 3)+1=M3+1
7=3*2+1=M3+1
Iar , deci:
 

(M3+1)+(M3+1)-2=M3+M3=M3 , deci suma este divizibila si cu 3.
                                                                                                                Cum (2;3)=1, adica sunt prime intre ele, si 2 si 3 divid suma inseamna ca produsul 2*3=6 divide suma.         


c)3^n + 7^n -2=13^n-1+7^n-1=(13-1)(13^(n-1)+...+1)+(7-1)(7^(n-1)+...+1)=6[2*(13^(n-1)+...+1)+(7^(n-1)+...+1)] =M6.

d)
d) 3^2n+1 (3 la puterea 2n+1) +2^n+2 (2 la puterea n+2) se divide cu 7

I.Etapa de verificare

P(0): 3^0+1 +2^0+2 divide 7
3^0*3+2^0*2^2 divide7
1*3+1*4 divide 7
3+4 divide 7
7 divide 7 (A)

II.Etapa de demonstrare:

PP. P(k) A
P(k): 3^2k+1 + 2^k+2 divide 7
3^2k * 3 + 2^k*2^2 divide 7
3^2k*3+2^k*4 divide 7

P(k+1) : 3^2k+3 + 2^k+3 divide 7
3^2k*3^3+2^k*2^3 divide 7
(3^2k*27 + 2^k * 28 divide 7

Answer 2

a) rezolvi cum a facut c)-ul 

adica:

9^n-1 =(8+1)^n -1 = M8 +1 -1 =M8 (M8 =multiplu de 8)

b)trebuie sa faci 6 cazuri
n poate fi de forma :
6*k
6*k+1
6*k+2
6*k+3
6*k+4
6*k+5
1) cand e 6*k evident ca este divizibil cu 6
2)n=6*k+1 => n^3+5*n =(6*k+1)^3 +5*(6*k+1)= M6+1+M6+5=M6
3)n=6*k+2 => n^3+5*n=(6*k+2)^3+5*(6*k+2)=M6+8+M6+10=M6
la fel pt cazul 4,5 si 6