Question

Se da x apartinand intervalului $( \frac{3 \pi }{2} si \pi )$ astfel incat :
1) tg x=$- \frac{1}{2}$ .Sa se calculeze sin x , cos x ,ctg x

2) cos x=4/5.Sa se calculeze sin x,tg x ,ctg x.

Answer 1

1) In primul rand reiese clar, ca $ctg(x)= \frac{1}{tg(x)} =-2$

Folosim apoi identitatea trigonometrica:

$sin(x)^2= \frac{tg(x)^2}{1+tg(x)^2}= \frac{ \frac{1}{4} }{1+ \frac{1}{4} } = \frac{1}{5}$

De aici obtinem ca $sin(x)= \frac{\sqrt{5}}{5} / sin(x)=-\frac{\sqrt{5}}{5}$

Insa ne aflam in intervalul $( \frac{3 \pi }{2}, 2\pi )$, interval in care functia sinus ia valori negative, deci $sin(x)= -\frac{\sqrt{5}}{5}$

Folosim relatia fundamentala a trigonometriei, $sin^2(x)+cos^2(x)=1 => cos^2(x)=1-sin^2(x)=1- \frac{1}{5}= \frac{4}{5}$

De aici obtinem ca $cos(x)= \frac{2}{\sqrt{5}} / cos(x)=- \frac{2}{\sqrt{5}}$

Tinem cont ca functia cosinus, pe intervalul $( \frac{3 \pi }{2}, 2\pi )$ este pozitiva, si de aici $cos(x)= \frac{2}{\sqrt{5}}$

2. Obtinem $sin^2(x)=1-cos^2(x)=1- \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Tinand cont din nou de apartenenta lui x la intervalul specificat, in care functia sinus ia doar valori negative, obtinem ca $sin(x)= -\frac{3}{5}$

Tangenta si cotangenta se calculeaza ca raport dintre sin si cos, respectiv cos si sin, si deci:

$tg(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)}= \frac{ -\frac{3}{5} }{ \frac{4}{5} } = -\frac{3}{4}$

Cotangenta este inversa tangentei, deci $ctg(x)= -\frac{4}{3}$