Se dau 25 de numere naturale, distincte două câte două, mai mici decât 1000, care au proprietatea că produsul oricăror două dintre ele este pătrat perfect. Arătaţi că fiecare din cele 25 de numere este pătrat perfect.
pls ajutooor
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
presupunand ca nu toate ar fi patrate perfecte, printre ele s-ar regasi unul care, in descompunerea sa in factori primi, contine (cel putin) un factor prim la putere impara. Fie a un asemenea numar si p₁,p₂....,pₓ factorii primi care care in descompunerea lui a apar la o putere impara. Deoarece atunci cand a este inmultit cu celelalte 24 de numere naturale se obtine mereu un patrat perfect, rezulta ca p₁,p₂,pₓ apar la putere impara in descompunerea in factori primi a tuturor celorlalte 24 de numere(exceptandu-l pe 0 daca acesta este unul dintre ele). Notand cu d produsul p₁,p₂,p₃....pₓ, toate formele ar trebui sa fie de forma d·n², cu cate un alt n. Rezulta ca cele 25 de numere sunt cel putin 0,d,4d,....24²d, dar cum d≥2, rezulta ca cel mai mare dintre numere este cel putin 2·24²=1152≥1000, deci contradictie.
OBS : afirmatia din problema are loc si pentru 24 de numere, deoarece presupunand contrariul, cel mai mare dintre ele ar fi cel putin 2·23²=1058≥1000, deci contradictie