Question

Se dau punctele A(2,5) , B(6,4) , C(1,1) . Punctele I si J verifica relatiile : 3IA(vector)+5IB(vector) = 0(vector) si 3JA(vector)-5JB(vector) = 0(vector) . Sa se arate ca :
a). 8OI(vector) + 3AO(vector) + 5BO(vector) = 0(vector)
b). 3OA(vector) + 2OJ(vector) = 5OB(vector)

Answer 1

Notam (xi si yi)  si (xj si yj) coordonatele punctelor I si J  
Calculam toti vectorii care ii vom utiliza in acest exercitiu, stiind ca un vector este de forma (2u + 3v) ( exemplu dat la intamplare)  ;

3IA = 3[(2-xi)u +(5-yj)v] = (6-3xi)u + (15 - 3yi)v
5IB = 5[(6-xi)u +(4-yi)v] = (30 - 5xi)u + (20 - 5yi)v 
3JA = 3[(2-xj)u + (5-yj)v] = (6-3xj)u + (15 - 3yj)v
5JB = 5[(6-xj)u + (4-yj)v] = (30 - 5xj)u + (20 - 5yj)v 
Acum vom afla coordonatele lui I si J , adica xi, yi, xj si yj, 

 3IA + 5IB =0(vector),   rezulta ca ;  
(6-3xi)u + (15 -3yi)v + (30-5xi)u +(20- 5yi)v = 0u +0v
(6-3xi +30 -5xi)u +(15-3yi+20-5yi)v =0u + 0v  
avem doua egalitati  6-3xi +30 - 5xi = 0    deci 36 = 8xi    xi =36/8 =9/2 
                                 15-3yi +20-5yi =0     deci  35 = 8yi   yi =35/8
Astfel am aflat coordonatele punctului  I(9/2 , 35/8) 
Acum vom afla coordonatele punctului J 

3JA -5JB =0

[(6-3xj)u + (15 - 3yj)v] - [(30 - 5xj)u + (20 - 5yj)v ] =0
[(6-3xj)u - (30 - 5xj)u] +[(15 - 3yj)v - (20 - 5yj)v ] =0
(-24 +2xj)u =0u    rezulta ca xj = 12
(-5 +2yj)v =0v      rezulta ca  yj = 5/2 
Am aflat si coordonatele punctului J(12, 5/2)
Verificam punctul a) 
8OI =8[(9/2 -0)u +(35/8-0)v]  
8OI =36u +35v 
3AO = 3[(0-2)u + (0-5)v]
3AO = -6u -15v
5BO =5[(0-6)u + (0-4)v]
5BO = -30u -20v 
Inlocuim in relatia a)
8OI +3AO +5BO = (36u +35v) +(-6u -15v) +(-30u -20v ) = 0u +0v

Rezolvam punctul b)
3OA = 3[(2-0)u +(5-0)v] =6u +5v
2OJ = 2[(12-0)u +(5/2 -0)v]  = 24u +5v
5OB = 5[(6-0)u +(4-0)v] = 30u +20v     Acum vom inlocui!
 3OA +2OJ = (6u +5v) +( 24u +5v) =30u +20v  adica tocmai 5OB