Question

Se ridica perpendiculara BD pe planul triunghiului ABC.Se știe ca DC =2a radical din 2 și AB=AC=BD=2a.
Aflati:
a) BC
b) masura dintre DC și planul ABC
c) d(B, AC)
d) d(B, (ACD)) ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

BD⊥(ABC), DC=2a√2, AB=AC=BD=2a.

a) BC=???   Daca BD⊥(ABC), ⇒BD⊥BC, T.P. ⇒BC²=DC²-BD²=(2a√2)²-(2a)² =(2a)²·2 - (2a)²=(2a)²·(2-1)=(2a)². Deci BC=√[(2a)²]=2a.

b) m(DC, (ABC))=m(DC,BC), deoarece unghiul dintre oblica si plan este egal cu unghiul dintre oblica si proectia ei, dar BC=pr(ABC)DC.

ΔDBC este dreptunghic in B si are catete ehale, DB=BC=2a. Atunci este triunghi isoscel cu unghiuri egale la baza DC.

Deci m(DC,BC)=45°=m(DC, (ABC)).

c) d(B,AC)=???

ΔABC este echilateral, deci  d(B,AC)=BE,  E∈AC, unde BE este inaltime si mediana. Deci ΔABE este dreptunghic in E, si AE=a. T.P. ⇒BE²=AB²-AE² = (2a)²-a²=4a²-a²=a²·3, deci BE=√(a²·3)=a√3= d(B,AC).

d) d(B, (ACD))=???

ΔDBA≡DBC ca dreptunghice cu catete egale. Deci DA=DC=2a√2.

⇒ΔACD este isoscel cu baza AC. ⇒DE⊥AC, deoarece  si BE⊥AC.

Atunci AC⊥BE si AC⊥DE, deci AC⊥(DBE). Atunci d(B, (ACD)) ​=d(B,DE).

Aplicand formula ariei, Aria(ΔDBE)=(1/2)·DB·BE=(1/2)·DE·d(B,DE) |·2, ⇒DB·BE=DE·d(B,DE). Fie d(B,DE)=BF, F∈DE.

Din ΔDBE, DB⊥BE, T.P. ⇒DE²=DB²+BE²=(2a)²+(a√3)²=2²·a²+a²·3=a²·(4+3)=a²·7. Deci DE=a√7.

Atunci, inlocuim in DB·BE=DE·d(B,DE), ⇒2a·a√3=a√7·d(B,DE), ⇒d(B,DE)=2a√3/√7=(2a√21)/7 = d(B, (ACD)).