Question

Se taie colturile unui patrat de arie 24+16√2 cm² astfel incat poligonul ramas sa fie un octogon regulat. Determinati perimetrul octogonului.

Answer 1

consideram coltul taiat  triunghi dreptunghic isoscel cu cateta =a
rezulta ipotenuza=latura octogonului =a√2
rezulta ca latura patratului initial este a+a√2+a=2a+a√2=a(2+√2)
Apatratului=[a(2+√2)]²=a²(4+4√2+2)=a²(6+4√2)
a²(6+4√2)=24+16√2
a²(6+4√2)=4(6+4√2)
a²=4
a=2
latura octogonului=a√2=2√2 cm
Poctogon=8x2√2 =16√2 cm

Answer 2

Fie x latura octogonului
la colturi obtinem triunghiuri dreptunghice isoscele de ipotenuze x
inseamna ca  lungimile catetelor sunt $\frac{x}{ \sqrt{2} } = \frac{x \sqrt{2} }{2}$
deci latura patratului este  egala cu:$\frac{x \sqrt{2} }{2} +x+ \frac{x \sqrt{2} }{2} = \sqrt{24+16 \sqrt{2} } \\ x( \sqrt{2} +1)= \sqrt{16+2\cdot 4\cdot2 \sqrt{2}+(2 \sqrt{2})^2 } \\ x( \sqrt{2}+1)= \sqrt{(4+2 \sqrt{2})^2 } =4+2 \sqrt{2} \\ x= \frac{4+2 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} +1}=(4+2 \sqrt{2} )( \sqrt{2} -1)= \\ 4 \sqrt{2} -4 +4-2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2} \\ P=8\cdot 2 \sqrt{2} =16 \sqrt{2}$