Question

Simetrica dreptei d:y=2-x fata de punctul a(2,-3) intersecteaza axele de coordonate in punctele P si Q. Sa se calculeze aria triunghiului POQ.

Answer 1

f(2)=0 deci A(2;-3) ∉d
 asadar simetrica fata de A va fi o paralela cu d, care va trece prin punctul A', asafel in cat AA'=distanta A, R.A. A' coliniare in aceasta ordine

ec d=-x-y+2=0

Pt a afla coordonatele lui A' , prin care trece dreapta d', simetrica lui d fatade A, trebuie sa aflam coordonatele lui R
iar A' va fi simetricul fata de A al lui R
pt aceasta vom scrie ecuatia deptei e, care trece prin A si este⊥pe d
fiind ⊥d care are panta -1, drepta e  va avea panta 1
deci ecutia  drepteie, care trece prin A (2;-3) si are panta 1 va fi
y-(-3)=1(x-2)
y+3=x-2
y=x-5
cum { R} =d∩e, pt a afla coordonatele lui  R , tb. sa rezolvam sistemul
y=-x+2
y=x-5

x-5=-x+2
2x=7
x=7/2 si y=7/2-5=-3/2 asadar R(7/2;3/2)
A' estre simetricul lui R(7/2; 3/2) fat de A(2;-3)
Deci A este mijlocul segmentului A'R

xA=(xA'+xR)/2
2= (xA'+7/2)/2
4=xA'+7/2
xa'=1/2

yA= (yA'+yR)/2
-3=(yA'-3/2)/2
-6=yA'-3/2
yA'=-6+3/2
yA'=-9/2

asadar trebuie sa scriem ecuatia dretei d' ||d, care are panta -1 si care trece prin A' (1/2;-9/2)

y-(-9/2) = -(x-1/2)
y+9/2=-x+1/2
y=-x+1/2-9/2
d' : y=-x-4

aceasta dreapta va intersecta axele in punctele P(xP,0) si Q (0;yQ)
 pt xQ=0, obtinem yQ=-4
 pt yP=0, obtinem xP=-4

asadar P (-4;0) si Q(0;-4) sunt punctele de intersectie cu axele ale d':y=-x-4
 OPQ dreptunghic isoscel OP=OQ=4
ArieΔ POQ= cateta 1 *cateta2/2= 4*4/2=8 unitatide arie, cerinta