Simplificati fractiile si aflati multimea valorilor reale ale lui x pentru care fractia este definita
[(x²+2x)(x²+2x+4)+3]/[(x²+2x)(x²+2x+5)+6]
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
notăm y=x^2+2x
Explicație pas cu pas:
numărătorul devine
y(y+4)+3=y^2+4y+3=(y+1)(y+3)
am folosit și descompunerea funcției de grad 2 în funcție de soluțiile ei
numitorul va fi
y(y+5)+6=(y+2)(y+3)
expresia va fi
(y+1)(y+3)/(y+2)(y+3)
condițiile de existență impun numitorul diferit de zero
y+2=0 echivalent cu
x^2+2x+2=0
y+3=0
x^2+2x+3=0
afla soluțiile , care reprezintă excepțiile ptr care fracția nu are sens
apoi simplificam cu y+3
[(x²+2x)(x²+2x+4)+3]/[(x²+2x)(x²+2x+5)+6]
notam y= x²+2x
=> [y(y+4)+3]/[(y)(y+5)+6]=
=(y²+4y+3)/(y²+5y+6)
=[(y+1)(y+3)]/[(y+2)(y+3)]
= [(x²+2x+1)( x²+2x+3)]/[( x²+2x+2)(x²+2x+3)]
= [(x+1)²•( x²+2x+3)]/[( x²+2x+2)(x²+2x+3)]; simplificam cu x²+2x+3
=(x+1)²/( x²+2x+2)
La numitor:
x²+2x+2=( x²+2x+1)+1=( x+1)²+1; valoarea minima=1
x²+2x+3=( x²+2x+1)+2=( x+1)²+2; valoarea minima=2
=>( x²+2x+2) >0 si (x²+2x+3) > 0 pentru orice x;
=> x∈R