Question

sin a - sin b= 2 sin$\frac{a-b}{2}$ cos $\frac{a+b}{2}$
Utilizand indetitatea data sa se calculeze
$\lim_{x \to \infty} ( sin\sqrt{x+1} - sin \sqrt{x} )$
a) + infinit
b) - infinit
c)0
d) 1
e) 2
f) 1/2
Problema AM 10 culegere admitere UPT 2020

Answer 1

Salut,

Avem radicali de ordin par, deci condițiile de pus sunt:

x + 1 ≥ 0

x ≥ 0, din cele 2 inegalități avem că x ≥ 0.

Notăm cu L limita din enunț, folosim identitatea trigonometrică din enunț și avem că:

$L=L=\lim\limits_{x\to+\infty}2\cdot sin\left(\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt x}2\right)\cdot cos\left(\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt x}2\right).\\\\\\\left|cos\left(\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt x}2\right)\right|\leqslant 1,\ deci\ este\ m\breve{a}ginit, \ \hat{\i}ntre\ -1\ \underset{^{'}}s i\ 1.\\\\\\\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt x}2=\dfrac{(\sqrt{x+1}-\sqrt x)\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}{2\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}=\dfrac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt x)^2}{2\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}=\\\\=\dfrac{x+1-x}{2\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}=\dfrac{1}{2\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}\to 0,\ pentru\ x\to+\infty.$

Deci limita din enunț se referă la un produs de 2 termeni, unul este mărginit și celălalt tinde la 0, deci limita L = 0.

Răspunsul corect este c, L = 0.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.