Question

Siruri...    


Fie sirul $( a_{n} )$ , $a_{1}=5$ , $a_{2}=17$ si [tex] a_{k+2}=5 a_{k+1}-4 a_{k} , k \geq 1
[/tex].
Sa se demonstreze ca $a_{n}= 4^{n}+1$ , n∈N*.

Va rog ajutati-ma! Macar niste sugestii sa-mi dati... :D

Answer 1

Demonstrăm prin inducție.
Pentru n=1 formula pentru $a_n$ se verifică.
Presupunem că formula este adevărată pentru toți termenii $a_k, \ k=1,2,\ldots,n-1$
Atunci
$a_n=5a_{n-1}-4a_{n-2}=5\left(4^{n-1}+1\right)-4\left(4^{n-2}+1\right)=\\=5\cdot 4^{n-1}-4^{n-1}+1=4^{n-1}(5-1)+1=4^n+1$
Deci formula este adevărată și pentru $a_n$

Answer 2

Ecuatia caracteristica este $r^2=5r-4$ cu solutiile 4 si 1.
[tex]a_n=c_1 \cdot 4^n+c_2 \cdot 1^n\\ a_1=4c_1+c_2=5\\ a_2=16c_1+c_2=17\\ c_1=1;c_2=1 \\a_n=1 \cdot 4^n+1 \cdot 1^n=4^n+1\\ a_n=4^n+1[/tex]