Question

Stabiliti intervalele de monotonie si eventual punctele de extrem local pentru a) f:R->R,f(x)=x^2+4x b)f:R\{-1}->R,f(x)=x-1/x+1 c)f:(0,+infinit)->R,f(x)=x-ln x

Answer 1

a)
f'(x)=2x+4
f'(x)=0
2x+4=0
2x=-4
x=-2
x |-∞________-2_________∞
f' |-----------------0++++++++++
f | descresc.  f(-2) crescatoare
Pe (-inf;-2), f e descrescatoare.
Pe [-2;inf), f e crescatoare.
f(-2)=(-2)^2+4*(-2)=4-8=-4
Punctul avand abscisa -2 si ordonata -4 este pct de maxim.

b)
f'(x)=[(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)']/(x+1)²=[x+1-(x-1)]/(x+1)²=(x+1-x+1)/(x+1)²=2/(x+1)²
2>0 fiind nr natural nenul
(x+1)²>0 oricare ar fi x din R\{-1}, deoarece orice nr ridicat la a doua e pozitiv.
Raportul a doua nr pozitive e un nr pozitiv, deci f'(x)>0, de unde rezulta ca f este strict crescatoare.
Nu avem pct de extrem.

c)
f'(x)=1-1/x=(x-1)/x
f'(x)=0
x-1=0
x=1
x |0____1/2_____1______2_____∞
f' |---------------------0++++++++++++
f | descresc.        f(1)   crescatoare
f'(1/2)=(1/2-1)/1/2=-1/2*2/1=-1<0
f'(2)=(2-1)/2=1/2>0
Pe (0;1), f este descrescatoare.
Pe [1;∞), f e crescatoare.
f(1)=1-ln1=1-0=1
Punctul de abscisa 1 si ordonata 1 este pct de maxim.