Question

Ştie cineva să rezolve această ecuaţie?
$A^{8}_{n} + A^{7} _{n} =9 A^{6}_{n}$

Answer 1

Conditia de existenta: n natural, n≥8

$\dfrac{n!}{(n-8)!}+\dfrac{n!}{(n-7)!}=9\cdot\dfrac{n!}{(n-6)!}$

Tinem cont de faptul ca
$(n-7)!=(n-8)!(n-7)\ si\ (n-6)!=(n-8)!(n-7)(n-6)$, dupa ce inmultim ecuatia cu $\dfrac{(n-8)!}{n!}$, obtinem:

$1+\dfrac{1}{n-7}=\dfrac{9}{(n-7)(n-6)}$, iar dupa aducerea la acelasi numitor, obtinem:

$n^2-13n+42+n-6=9$

$n^2-12n+27=0$

$(n-3)(n-9)=0$, care are solutiile 3 si 9, dar tinind cont de conditiile de existenta, singura solutie este n=9.