Question

Stiind ca n este un numar natural impar, sa se demonstreze ca n^3 +3*n^2 - n - 3 se divide cu 48.

Answer 1

[tex]E(n) = n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3) = (n+3)(n^2-1) = \\\;\\ =(n+3)(n-1)(n+1) = (n-1)(n+1)(n+3)[/tex]

Deoarece n este numar impar, rezulta ca n = 2k+1, unde k este natural.

Vom avea :

E(k) = (2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3) = 2k(2k+2)(2k+4)=2k·2(k+1)2·(k+2) =

= 2·2·2k(k+1)(k+2) =8k(k+1)(k+2)

Evident, E(k) este multiplu de 8.

Dar, produsul numerelor naturale consecutive k(k+1)(k+2) este divizibil cu 6, rezulta ca E(k) este si multiplu de 6.

Fiind simultan multiplu de 8 si multiplu de 6, rezulta ca E(k) este multiplu de 6·8=48