Question

Stiind ca z ,e nr. complex , si z^2+z+1=0 , sa se calculeze z^4+1/z^4.​ Dau coroana!

Answer 1

Răspuns:

z²+z+1=0

Δ=1-4= -3

z1=(-1-√-3)/2=

-1/2-√3i)/2

z2= (-1/2+√3i)/2

Cazul 1

z1=(-1-i√3)/2

Scrii numarul sub forma trigonometrica

lz1l=$\sqrt{(\frac{-1}{2})^2 +(\frac{\sqrt{3} }{2})^2 }$

$\sqrt{(\frac{1}{4} } +\frac{3}{4} )=\sqrt{1} =1$

cosα= -1/2

sinα=-√3/2

Cosinusul negativ , sinusul negativ, esti in cadranul 3

pt  cos x=1/2 corespunde   valoarea $\frac{\pi }{3}$

Deoarece esti in cadranul 3

α=$\frac{\pi }{3} +\pi =\frac{4\pi }{3}$

z1=cos$\frac{4\pi }{3} +isin\frac{4\pi }{3}$

Ridici numarul la puterea 4 cu Moivre

z⁴=$cos\frac{4*4\pi }{3} +isin\frac{4*4\pi }{3}$

=$cos\frac{16\pi }{3} +isin\frac{16}{3}$

$\frac{1}{z^4} =z^{-4}$=

$cos\frac{16\pi }{3}-isin\frac{16\pi }{3}$ conf  Moivre

z⁴$+z^{-4} =$

$cos\frac{16\pi }{3} +isin\frac{16\pi }{3} +$$cos\frac{16\pi }{3} -isin\frac{16\pi }{3}$=

$2cos\frac{16\pi }{3}$

La fel procedezi si pt z2

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Răspuns:

z⁴+1/z⁴= -1

Explicație pas cu pas:

z∈C; z²+z+1=0  => z²+1=-z

z²+z+1=0     /*(z-1)

(z-1)(z²+z+1)=0

 z³-1=0 => z³=1

z⁴=z³*z=1*z

z⁴=z

1/z⁴=1/z

z⁴+1/z⁴=z+1/z= (z²+1)/z= -z/z= -1