Question

❗❗❗
Știm că z1,z2,z3€R, |z1|=|z2|=|z3|=1 și z1+z2+z3=0. Demonstrați că z1²+z2²+z3²=0

​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$(z_{1} +z_{2} +z_{3} )^{2} =z_{1} ^{2} +z_{2} ^{2} +z_{3} ^{2} +2(z_{1} z_{2} +z_{1} z_{3} +z_{2} z_{3} )\\ \\ 0^{2} =z_{1} ^{2} +z_{2} ^{2} +z_{3} ^{2} +2(z_{1} z_{2} +z_{1} z_{3} +z_{2} z_{3} )\\ \\ z_{1} ^{2} +z_{2} ^{2} +z_{3} ^{2} =-2(z_{1} z_{2} +z_{1} z_{3} +z_{2} z_{3} )\\ \\ z_{1} ^{2} +z_{2} ^{2} +z_{3} ^{2} =-2z_{1}z_{2} z_{3} (1/z_{1} +1/z_{2} +1/z_{3} )$

|z1|= 1 ⇔ |z1|² = 1 ⇔ z1 · z1 = 1 ⇒ z1 = 1/z1, z1 fiind conjugatul lui z1, analog pentru z2 și z3

1/z1 + 1/z2 + 1/z3 = z1 + z2 + z3 =  z1  + z2 + z3  = 0

ceea ce e scris cu bold și italic înseamnă ... conjugat n-am știut cum să fac bara respectivă pentru conjugat

$z_{1} ^{2} +z_{2} ^{2} +z_{3} ^{2} =-2z_{1} z_{2} z_{3} \cdot0=0$