Question

Știm relația ab=(a,b)[a,b] Demonstrați relația în cazul în care avem 3 nr. a,b,c, adică calculați abc în funcție de (a,b,c) și [a,b,c]

Answer 1

facultativ
fie a=a1^k1*a2^k2...aq^kq*c1^j1*..cr^jr
     b=b1^l1*b2^l2..bp^lp*c1^i1*...cr^js

unde a1, ...aq sunt factorii primi doar ai lui a b1...bp factorii doar ai lui b si c1...cr sunt factorii comuni

...............................................................
Uita -o pe asta de sus, merge prea greu cu atatea notatii.


mai babeste
desigur se verifica imediat ca produsul a*b=produsul factorilor necomuni la puterile lor * produsul factoror comuni la suma puterilor, pt ca se aduna puterea minima de la (a,b) cu  cu puterea maxima de la [a,b]

de exempu 6=2*3 si 40=2³*5
(6;40)=2 si [6;40]=2³*3*5=120
6*40=2*2³*3*5
3 si 5 apar fiecare cate odat la puterile lor
2 apare la puterile insumate 1 si3
si 6*20=2*120

(a,b) =doar factorii comuni l aputerea cea mai mica (min(ii,jj))
[a,b]=factorii necomuni la puterea la care sunt si factorii comuni la puterea cea mai mare


atunci analog, cand avem trei numere
(a,b,c) =doar factorii comuni la puterea cea mai mica
[a;b;c]=factorii necomuni la puterea care sunt* factorii comuni la puterea cea mai mare intre (a,b si c)

daca inmultim (a,b,c) cu [a,b,c] obtinem  DOAR produsl factorilor necomuni * produsul factorilor comuni fiecare la puterea minima adunata cu cea maxima

dar acesta ≠a*b*c, care are, pe langa factorii necomuni la puterile lor bine mersi si  fiecare factor comun la suma puterilor minima , maxima SI MIJLOCIE 
deci lipseste puterea mijlocie (chiar daca la unul dintre factorii primi aceasta poate fi aceeasti pt 2 sau 3 dintrecele trei numere, caz in care "mijlocia" se insumează de 2 sau 3 ori)
deci la produsul (a,b,c) cu [a,b,c] pot exista factori comuni celor 3 ale caror puteri sa nu se insumeze
si produsul numerelor. a*b*c este MAI MARE decat produsul dintre (a.b.c) si[a,b,c]
atunci putem scrie

a*b*c≥(a,b,c)*[a;b;c]
sau

(a,b,c)*[a;b;c]≤a*b*c
ACESTA ESTE RELATIA CERUTA


de exemplu
3,4,5,inde (3,4.5)=1 si [3;4;5]=60
3*4*5=1*60

dar 3;4;6 avem (3,4.6)=1 si[3;4;6]=12
1*12<3*4*6

sau mai clar
3=3;4=2²,20=2²*5 unde puterea "cea mai mare a factorului2,  din 3 numere aparede 2 ori
(3,4;20)=1
[3;4;20]=60

1*60<3*4*20
relatia dedusa mai sus
(a,b,c)*[a;b;c]≤a*b*c
se verifica inca o data
egalitate are loc in diverse cazuri particulare , gen
-daca a,b,c PRIME INTRE ELE ORICARE 2  , adica NU EXISTA FACTORI COMUNI tuturor celor 3 numere .cum e cazul cu 3;4;5
 -a este 1 si b este divizor al lui c...gen 1;3;6
si or mai fi si altele